1.     Calculer toutes les valeurs propres de A par la méthode QR(en commençant par une réduction à une forme d`Hessenberg, ensuite factorisation QR successivement par rotations de Givens)

2.    Calculer tous les vecteurs propres de A par la méthode de la puissance inverse. Vérifier vos réponses pour 1. et 2. par comparaison avec les réponses exactes telles que données par la fonction eig de Matlab (par exemple).

Structure de la présentation:

[1] Schéma explicite TVD pour les lois de conservation scalaire. 

[2] Schéma Implicite TVD pour les lois de conservation scalaire.

[3] Un schéma implicite du premier ordre de précision, Inconditionnellement TVD.

[4] Conversion des schéma du premier ordre de précision dans des schéma de second ordre de précision et qui restent TVD. 

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Références :

La mise en oeuvre de cette méthode inclut les étapes suivantes :

3.2.1. Discrétisation temporelle et spatiale. On utilise le maillage spatio – temporel défini dans le post sur le problème d’advectionxi = (i – 1/2 )dx, 1 ≤ i ≤ N et tn = ndt pour n ≥ 0.On considère le cas où C1 = 1, C2 = 1, k1 = 1, k2 = 1 et L = 1.Discrétisation temporellePour la discrétisation temporelle on utilise le schéma de Crank-Nicolson.Ce schéma est implicite. Il est d’une précision d’ordre 2 en temps.  

Discrétisation en espace

Pour les mailles régulières (ne contenant pas le front), on utilise le schéma dedifférences finies à trois points. Les flux (Flux)i-1/2 sont approximés par : 

La discrétisation spatiale est plus délicate pour les mailles proches du front et surtout pour les mailles gauche et droite. Comme dans le cas d’advection, on veut éviter “le problème des écrasements des mailles”, tel qu’observé au post précédent. On doit gérer les cas où les parties αL et αR deviennent très petites ou zéro.

3.2.2. Algorithme de suivi de front.

 Dans tout ce post, on écrit les équations pour le cas où la vitesse de propagationde l’interface est positive. Si la vitesse est négative, on utilise des équationssymétriques à celles utilisés dans le cas où V >0. 

3.2.2.1. Bilans conservatifs pour les mailles proches du front

(voir le lien)

3.2.2.2. Une approximation d’ordre deux pour le flux de chaleur

(voir le lien) 

3.2.3. Système discret du problème de Stefan.

On rappelle que le problème de Stefan consiste à trouver la température et l’interface entre différentes phases d’un matériel. Ce problème se modélise par le système suivant :

Au front la vitesse V satisfait :

L est la chaleur latente de solidification, C1,2 est la capacité volumique de lachaleur, k1,2 est le coefficient de diffusion thermique. La température au front est TF = Tm. La position du front est donnée par

Les formules (3.2.17) constituent le système des équations pour la température T, et (3.2.18)-(3.2.19) constituent le système des équations pour la géométrie.Ces deux systèmes sont couplés.La température dépend de la géométrie et la géométrie dépend de la température. Par conséquent, le système (3.2.17)-(3.2.18)-(3.2.19) est fortement non linéaire à cause de la dépendance non triviale de la température par rapport à la frontière interne.

Cette propriété est vraiment évidente dans la version discrète du système (3.2.17)-(3.2.18)-(3.2.19) présentée maintenant.

Le système discret (Ξ) se compose de :

1. (ΞT ) – Les équations de la température obtenues via la formulation combinée : (3.2.14)-(3.2.15)-(3.2.16)…etc.

2. (ΞG) – Les équations relatives à la géométrie :

On réécrit par exemple l’une des équations pour la température.

Le système discret (Ξ) est donc clairement non linéaire. Toutes les équations pour la température dépendent de la géométrie (des parties αL, αR et donc de la position du front xF ) et la géométrie dépend de la vitesse V , qui est donnée par

Ce couplage non trivial entre la température T et la géométrie rend le systèmenon linéaire (Ξ) difficile à résoudre. Dans la section suivante on explique comment on parvient à la résolution du système non linéaire (Ξ).

3.2.4. Algorithme itératif.

 On propose ici une manière de résoudre le système non linéaire (Ξ) en le fractionnant en deux parties linéaires, tel que décrit ci dessous. En effet, on remarque que :

- Si la vitesse V , la position du front xF , les parties αL, αR sont données alors le système des équations de la température (ΞT ) devient un système linéaire pour T.

- Si la température T est donnée, on peut facilement résoudre les équations du système en ce qui concerne la géométrie (ΞG) pour V , αL, αR et donc pour xF .

Ces remarques nous ont conduits à considérer un algorithme itératif de résolution du système non linéaire (Ξ). Cet algorithme est présenté dans le diagramme suivant :

Soit Ω le domaine du matériel, pour lequel en chaque point le matériel est soit liquide soit solide. La région où le matériel est liquide est notée Ω1 et la région où le matériel est solide est notée Ω2. Soit V la vitesse à laquelle l’interface se déplace.

1. Équations de Navier-Stokes et Principe de la Méthode Volumes Finis (voir le lien).

L’équation de continuité.

L’équation du mouvement.

L’équation de l’énèrgie.

L’expression intégrale des équations de Navier-Stokes.

Définition des maillages utilisés.Les équations discrétisés.

Le terme de diffusion.

Le terme de convection.

Le flux massique.

2. Résolution numérique et algorithme utilisé (voir le lien).

La correction de pression.

Le maillage décalé.

Les conditions aux frontières 

3. Résultats numériques et conclusion (voir le lien):

a). Problème de la Cavité Carrée.

1. Construire les domaines de calculs avec un maillage cartèsien en utilisant MARS.

2. Resoudre le problème de la cavité carrée pour RE=400,100.

3. En faisant des coupes x=0.5 et y=0.5 comparer vos résultats de la cavité carrée (Re=400) avec les résultats obtenues avec d’ autres méthodes et qui sont montré dans la figure.

4. Répeter le problème de la cavité pour b=2 et b=3 et Re=1000.

b). Problème de la MARCHE.

1. Resoudre le problème de la mache pour Re=100,400,1000.

2. Déterminer le point d`attachement (de détachement et reattachement,selon le cas) de l`écoulement dans la marche

1 millimètre carré   =     0.00155 pouce carré

1 centimètre carré   =     0.155   pouce carré

1 mètre carré        =    10.764  pieds carrés

1 hectare            =    107,640 pieds carrés

1 kilomètre carré    =    0.3861  mille carré

1 pouce carré        =    6.542   centimètres carrés           

1 pied carré         =    0.0929  mètre carré

1 verge carrée       =    0.836   mètre carré                  

1 acre               =    0.4047  hectare

1 mille carré        =    2.5899  kilomètres carrés 

Pour convertir les °F en °C
(degré Farenheit en degré Celcius )
Soustrayez 32,
multipliez par 5
et ensuite divisez par 9 

Pour convertir les °C en °F
(degré Celcius en degré Farenheit )
Multipliez par 9,
divisez par 5
et ensuite ajoutez 32