Une méthode de suivi de front pour la résolution du problème de Stefan.

La mise en oeuvre de cette méthode inclut les étapes suivantes :

3.2.1. Discrétisation temporelle et spatiale. On utilise le maillage spatio – temporel défini dans le post sur le problème d’advectionxi = (i – 1/2 )dx, 1 ≤ i ≤ N et tn = ndt pour n ≥ 0.On considère le cas où C1 = 1, C2 = 1, k1 = 1, k2 = 1 et L = 1.Discrétisation temporellePour la discrétisation temporelle on utilise le schéma de Crank-Nicolson.Ce schéma est implicite. Il est d’une précision d’ordre 2 en temps.  

Discrétisation en espace

Pour les mailles régulières (ne contenant pas le front), on utilise le schéma dedifférences finies à trois points. Les flux (Flux)i-1/2 sont approximés par : 

La discrétisation spatiale est plus délicate pour les mailles proches du front et surtout pour les mailles gauche et droite. Comme dans le cas d’advection, on veut éviter “le problème des écrasements des mailles”, tel qu’observé au post précédent. On doit gérer les cas où les parties αL et αR deviennent très petites ou zéro.

3.2.2. Algorithme de suivi de front.

 Dans tout ce post, on écrit les équations pour le cas où la vitesse de propagationde l’interface est positive. Si la vitesse est négative, on utilise des équationssymétriques à celles utilisés dans le cas où V >0. 

3.2.2.1. Bilans conservatifs pour les mailles proches du front

(voir le lien)

3.2.2.2. Une approximation d’ordre deux pour le flux de chaleur

(voir le lien) 

3.2.3. Système discret du problème de Stefan.

On rappelle que le problème de Stefan consiste à trouver la température et l’interface entre différentes phases d’un matériel. Ce problème se modélise par le système suivant :

Au front la vitesse V satisfait :

L est la chaleur latente de solidification, C1,2 est la capacité volumique de lachaleur, k1,2 est le coefficient de diffusion thermique. La température au front est TF = Tm. La position du front est donnée par

Les formules (3.2.17) constituent le système des équations pour la température T, et (3.2.18)-(3.2.19) constituent le système des équations pour la géométrie.Ces deux systèmes sont couplés.La température dépend de la géométrie et la géométrie dépend de la température. Par conséquent, le système (3.2.17)-(3.2.18)-(3.2.19) est fortement non linéaire à cause de la dépendance non triviale de la température par rapport à la frontière interne.

Cette propriété est vraiment évidente dans la version discrète du système (3.2.17)-(3.2.18)-(3.2.19) présentée maintenant.

Le système discret (Ξ) se compose de :

1. (ΞT ) – Les équations de la température obtenues via la formulation combinée : (3.2.14)-(3.2.15)-(3.2.16)…etc.

2. (ΞG) – Les équations relatives à la géométrie :

On réécrit par exemple l’une des équations pour la température.

Le système discret (Ξ) est donc clairement non linéaire. Toutes les équations pour la température dépendent de la géométrie (des parties αL, αR et donc de la position du front xF ) et la géométrie dépend de la vitesse V , qui est donnée par

Ce couplage non trivial entre la température T et la géométrie rend le systèmenon linéaire (Ξ) difficile à résoudre. Dans la section suivante on explique comment on parvient à la résolution du système non linéaire (Ξ).

3.2.4. Algorithme itératif.

 On propose ici une manière de résoudre le système non linéaire (Ξ) en le fractionnant en deux parties linéaires, tel que décrit ci dessous. En effet, on remarque que :

- Si la vitesse V , la position du front xF , les parties αL, αR sont données alors le système des équations de la température (ΞT ) devient un système linéaire pour T.

- Si la température T est donnée, on peut facilement résoudre les équations du système en ce qui concerne la géométrie (ΞG) pour V , αL, αR et donc pour xF .

Ces remarques nous ont conduits à considérer un algorithme itératif de résolution du système non linéaire (Ξ). Cet algorithme est présenté dans le diagramme suivant :

 

 

Le problème de Stefan

Le problème de Stefan décrit l’évolution en temps d’une interface liquide-solide dans des problèmes avec changement de phase. Le problème consiste à trouver la température et la position de l’interface entre deux phases d’un matériel pur.

La simulation numérique de ce problème est plus difficile que celle du problème d’advection à cause du couplage non-trivial entre la vitesse de propagation de l’interface et la solution.

Soit Ω le domaine du matériel, pour lequel en chaque point le matériel est soit liquide soit solide. La région où le matériel est liquide est notée Ω1 et la région où le matériel est solide est notée Ω2. Soit V la vitesse à laquelle l’interface se déplace.

Les équations qui modélisent ce problème sont les suivantes :

 

Au front, la vitesse V satisfait la condition suivante :

L est la chaleur latente de solidification, C1, C2 sont les capacités volumiques de la chaleur, k1 et k2 sont les coefficients de diffusion thermique respectivement dans les phases 1 et 2.

La température au front est donnée. On la note TF . Elle est constante et correspond à la température de changement de phase du matériel.

La position du front est régie par l’équation :

MÉTHODE DE SUIVI DE FRONT POUR L’ADVECTION

Ici  on explique l’idée principale de cet algorithme de suivi de front.

Nous y décrivons différentes façons de gérer le front suivant sa position dans les mailles et la mise en oeuvre d’une méthode d’ordre 2, implicite, pour des problèmes sous forme conservative. La stratégie est illustrée et validée pour le problème d’advection à vitesse constante d’un scalaire avec une condition initiale discontinue.

Ce problème est particulièrement simple puisque la vitesse d’advection (et donc de déplacement de l’interface) est une constante donnée, indépendante de la solution pour le scalaire.