La mise en oeuvre de cette méthode inclut les étapes suivantes :
3.2.1. Discrétisation temporelle et spatiale. On utilise le maillage spatio – temporel défini dans le post sur le problème d’advectionxi = (i – 1/2 )dx, 1 ≤ i ≤ N et tn = ndt pour n ≥ 0.On considère le cas où C1 = 1, C2 = 1, k1 = 1, k2 = 1 et L = 1.Discrétisation temporellePour la discrétisation temporelle on utilise le schéma de Crank-Nicolson.Ce schéma est implicite. Il est d’une précision d’ordre 2 en temps. 
Discrétisation en espace
Pour les mailles régulières (ne contenant pas le front), on utilise le schéma dedifférences finies à trois points. Les flux (Flux)i-1/2 sont approximés par :
La discrétisation spatiale est plus délicate pour les mailles proches du front et surtout pour les mailles gauche et droite. Comme dans le cas d’advection, on veut éviter “le problème des écrasements des mailles”, tel qu’observé au post précédent. On doit gérer les cas où les parties αL et αR deviennent très petites ou zéro.
3.2.2. Algorithme de suivi de front.
Dans tout ce post, on écrit les équations pour le cas où la vitesse de propagationde l’interface est positive. Si la vitesse est négative, on utilise des équationssymétriques à celles utilisés dans le cas où V >0.
3.2.2.1. Bilans conservatifs pour les mailles proches du front
3.2.2.2. Une approximation d’ordre deux pour le flux de chaleur
3.2.3. Système discret du problème de Stefan.
On rappelle que le problème de Stefan consiste à trouver la température et l’interface entre différentes phases d’un matériel. Ce problème se modélise par le système suivant :
Au front la vitesse V satisfait :
L est la chaleur latente de solidification, C1,2 est la capacité volumique de lachaleur, k1,2 est le coefficient de diffusion thermique. La température au front est TF = Tm. La position du front est donnée par
Les formules (3.2.17) constituent le système des équations pour la température T, et (3.2.18)-(3.2.19) constituent le système des équations pour la géométrie.Ces deux systèmes sont couplés.La température dépend de la géométrie et la géométrie dépend de la température. Par conséquent, le système (3.2.17)-(3.2.18)-(3.2.19) est fortement non linéaire à cause de la dépendance non triviale de la température par rapport à la frontière interne.
Cette propriété est vraiment évidente dans la version discrète du système (3.2.17)-(3.2.18)-(3.2.19) présentée maintenant.
Le système discret (Ξ) se compose de :
1. (ΞT ) – Les équations de la température obtenues via la formulation combinée : (3.2.14)-(3.2.15)-(3.2.16)…etc.
2. (ΞG) – Les équations relatives à la géométrie :
On réécrit par exemple l’une des équations pour la température.
Le système discret (Ξ) est donc clairement non linéaire. Toutes les équations pour la température dépendent de la géométrie (des parties αL, αR et donc de la position du front xF ) et la géométrie dépend de la vitesse V , qui est donnée par
Ce couplage non trivial entre la température T et la géométrie rend le systèmenon linéaire (Ξ) difficile à résoudre. Dans la section suivante on explique comment on parvient à la résolution du système non linéaire (Ξ).
3.2.4. Algorithme itératif.
On propose ici une manière de résoudre le système non linéaire (Ξ) en le fractionnant en deux parties linéaires, tel que décrit ci dessous. En effet, on remarque que :
- Si la vitesse V , la position du front xF , les parties αL, αR sont données alors le système des équations de la température (ΞT ) devient un système linéaire pour T.
- Si la température T est donnée, on peut facilement résoudre les équations du système en ce qui concerne la géométrie (ΞG) pour V , αL, αR et donc pour xF .
Ces remarques nous ont conduits à considérer un algorithme itératif de résolution du système non linéaire (Ξ). Cet algorithme est présenté dans le diagramme suivant :
